Semaines

John Conway, mathématicien britannique né le 6 unème 1938 à Liverpool (Royaume-Uni) et décédé le 21 quartème 2020 dans le New Jersey (Etats-Unis), décrit sa méthode dans l'article "Tomorrow is the Day after Doomsday" paru en octobre 1973 dans la revue "Eureka". Il s'est intéressé au sujet à la suite d'un défi que lui a posé Martin Gardner à propos de la méthode de Lewis Caroll.

Conway observe qu'il existe une série de dates, appelés dates pivots (traduit ailleurs en jours pivots), qui tombent toujours le même jour de la semaine dans une même année. Prenez l'almanach de n'importe quelle année, et vous observerez que le 21 mars, le 4 avril et le 15 août tombent le même jour de semaine. Appelons jour clé ce jour de semaine caractéristique d'une année, et même baptisons-le clavedi, ce qui rime avec lundi, mardi etc. Dès lors, il suffit de mémoriser le clavedi de l'année courante pour connaître le jour de semaine des dates pivots. Avec une date pivot par mois, on est donc capable de calculer le jour de semaine de n'importe quelle date, en comparant cette date avec la date pivot du même mois.

John Conway a baptisé doomsday le jour clé de l'année, ce qui rime avec Monday, Tuesday etc. A l'origine, doomsday signifie jour du jugement dernier. Dans L'Heure milésienne, nous avons proposé de le baptiser dies illa, "ce jour-là" en référence à la séquence Dies irae, dies illa (Jour de colère, ce jour-là) de la liturgie du Requiem. Depuis nous avons distingué deux notions. Le dies illa est une date particulière associée à une année. Le clavedi, ou jour clé, est un jour de semaine, comme lundi, mardi, mercredi etc., associé à une année. C'est précisément le jour de semaine qui tombe le dies illa de l'année.

Le coup de génie de John Conway est d'avoir choisi le "0 mars", c'est-à-dire le dernier jour de février, comme dies illa, ce qui limite les difficultés de calcul liées aux années bissextiles. De manière équivalente, nous avons défini le "0 1m", le jour précédent le premier jour de l'année, pour le dies illa milésien. Le dies illa milésien et celui de John Conway sont deux dates différentes, mais pour toute année, ces deux dates tombent le même jour de semaine. Autrement dit le clavedi milésien est le même que le clavedi grégorien, ce qui nous permet d'apprendre une seule méthode pour le calculer.

John Conway fait une démonstration impressionnante de la rapidité de sa méthode dans cette vidéo. Pour s'exercer, il avait installé un petit logiciel qui lui présentait une date quelconque sur l'écran de connexion de son ordinateur. Il devait donner le jour de semaine de cette date. Le doomsday l'aura accompagné du début à la fin de sa vie. Il est né en effet le doomsday 26 décembre 1937, lendemain de Noël. Et il est décédé le doomsday 11 avril 2020, veille de Pâques. Une des dernières phrases qu'il aurait pu dire est le titre de son article: "Tomorrow is the day after Doomsday".

Nous expliquons cette méthode pas à pas dans les volets suivants, et en décrivons les perfectionnements et développements les plus récents.

Mettons provisoirement de côté janvier et février, à cause de leur irrégularité et du jour bissextile placé fin février.

Les dates pivots des mois pairs sont particulièrement simples : 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12.

Pour les dates pivots des mois impairs, il faut ajouter 4 au quantième des 3 premiers mois impairs à partir de mars, et retrancher 4 aux 2 derniers, ceux en "embre", septembre et novembre. On obtient ainsi 7/3, 9/5, 11/7, puis 5/9 et 7/11. Remarquons la symétrie 9/5 et 5/9, puis 11/7 et 7/11. John Conway suggère de se rappeler que l'on travaille de 9h (du matin) à 5h (de l'après-midi) au Seven Eleven (une chaîne de supérettes américaines très connue).

Enfin, le clavedi tombe le dernier jour de février, et aussi 4 semaines plus tôt. C’est-à-dire, en année bissextile le 29 et le 1^er février, et en année commune le 28 février et le 31 janvier. Soit encore le 4 janvier en année bissextile, le 3 janvier en année commune.

YingKing Yu propose d'ajouter deux dates pivots valables les années bissextiles: le 11/1 et le 22/2. Comme pour la conversion entre calendriers grégorien et milésien, l'année bissextile est plus régulière que l'année commune, et il faut retirer 1 aux dates grégoriennes lors des années communes. Ces deux dates pivots deviennent alors 10/1 et 21/2.

On remarque que les mois grégoriens de la première série des mois impairs sont exactement ceux dont le 1^er tombe le 10 milésien au lieu du 11.

Évidemment, les séries de dates pivots sont plus complexes qu’en milésien à cause de l’irrégularité des mois. Mais l’intérêt de la méthode de Conway par rapport aux méthodes antérieures est la prise en charge simple de l’année bissextile. Les astronomes de calendrier grégorien avaient proposé un système lourd de double lettre dominicale; Christian Zeller rattachait janvier et février à l'année précédente; Lewis Carroll introduisait après coup une exception pour les calculs de janvier ou février en année bissextile. Avec John Conway, considérer l'origine au "0 mars" permet d'aplanir assez naturellement cette difficulté.

Prenons un premier exemple simple. Soit à calculer le jour du semaine du 1er mai de l'année courante. Le 9/5 est une date pivot, et tombe donc le clavedi de l'année. Le 1/5 comme le 8/5 tombent la veille du clavedi. Si vous ne savez pas encore calculer le clavedi, vous pouvez le trouver sur la page d'accueil. En 2020, le clavedi est samedi, le 1er mai est la veille, soit vendredi.

Le clavedi d'une année tombe le "0/1m", la veille du premier de l'an qui, je le rappelle, peut être un 30 12m ou un 31 12m de l'année précédente.

Chaque année, les dates pivots suivantes tombent le clavedi:

• Les impairs: 0/1m (donc 7/1m etc.), 2/3m, 4/5m, 6/7m, 8/9m, 10/11m;
• Les pairs, au choix: 5/2m, 7/4m, 9/6m, 11/8m, 13/10m, 15/12m; ou: -2/2m, 0/4m, 2/6m, 4/8m, 6/10m, 8/12m;
• Le joker: le 30 tertème (0/4m) jour de référence pour le calcul de la date de Pâques, tombe aussi le clavedi.

Cette régularité est due au fait que tous les bimestres milésiens à l'intérieur d'une année comptent 61 jours, 2 jours de moins que 63, un multiple de 7.

Prenons un exemple simple en milésien: la journée de la Terre. Elle est fixée au 1er quintème (22 avril). Le 4/5m étant une date pivot, il tombe le clavedi, et le 1/5m 3 jours plus tôt. En 2020, le clavedi est samedi, et la journée de la Terre tombe donc mercredi.

La méthode exposée ici est valable pour toute année du calendrier grégorien (mais non du calendrier julien) ou du calendrier milésien. Si l'année est avant J.-C., il faut l'exprimer en notation algébrique (avec une année 0) et non rétrograde. On commence par décomposer l'année, en déterminant les variables en gras:

A = Q*400 + C*100 + Z*12 + R

où 0 <= C < 4, 0 <= Z <= 8, 0 <= R < 12.

On décompose ensuite R:

R = B*4 + N

où 0 <= B <= 2, 0 <= N <= 3. Mais en réalité, on utilise seulement B.

Cette formule paraît compliquée, mais en pratique les choses sont plutôt simples. John Conway dit qu'il suffit de compter sur les doigts d'une main.

Tout d'abord le cycle des semaines se reproduit à l'identique tous les 4 siècles grégoriens (et donc milésiens). A chaque siècle correspond un jour balise, le clavedi de l'année de siècle, que l'on appelle balise de siècle. Il n'y a que 4 balises à retenir : 2;0;5;3. pour les valeurs respectives de C: 0;1;2;3, c'est-à-dire pour 1600;1700;1800;1900, puis 2000;2100;2200;2300, mais aussi pour 0;100;200;300, voire avant J.-C. -400;-300;-200;-100 etc. Si l'on se contente des 100 dernières années, il suffit de retenir 3 pour les années 19xx et 2 pour les années 20xx. On place mentalement ce premier chiffre sur son index.

On considère alors la partie infraséculaire de l'année: les dizaines et les unités. On divise ce nombre par 12. Non, ce n'est pas compliqué ! Chacun connaît les premiers multiples de douze: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Il suffit de trouver dans quelle plage se trouve l'année. On place mentalement ce deuxième chiffre, Z, de 0 à 8, sur le majeur.

Considérons maintenant le reste R de la division de l'année par 12. Par exemple, si l'année est 82, le multiple précédent est 72, ce reste est 10. Au maximum, il peut être 11. A placer sur l'annulaire.

Enfin, divisons le reste précédent par 4, ne gardons que le quotient B qui est compris entre 0 et 2. Plaçons-le sur l'auriculaire.

Ajoutons les quatre chiffres modulo 7, en parcourant les quatre doigts avec le pouce. Ajouter modulo 7, c'est faire la somme en remplaçant 7 par 0, 10 par 3 etc., pour obtenir un chiffre entre 0 et 6.

Par exemple, pour 1982 cela donne 3 + 6 + 10 + 2 = 3 + 6 + 3 + 2 = 14 = 0 (modulo 7).

0 correspond à dimanche, 1 à lundi "l'un di", 2 à mardi etc., 6 à samedi. En 1982, le clavedi est dimanche.

On peut utiliser les mêmes jours-pivots pour une date du calendrier julien, mais alors le clavedi ne se calcule pas de la même manière. Seule change la balise de siècle C. Celle-ci est simplement: C = - S mod 7, ou S est le siècle (0 pour les années 0 à 99, 1 pour les années 100 à 199, etc.)

Il faut donc retirer le nombre de siècles. En pratique, il est prudent de commencer à convertir ce nombre en son équivalent positif modulo 7. Le reste du calcul est conduit de la même manière que précédemment.

Trouvons par exemple le jour de semaine de l'exécution de Jeanne d'Arc, le 30 mai 1431. La balise de siècle est -14, donc 0, on place 0 sur l'index. Calculons les autres chiffres à partir de 31, finalement on obtient:

0 + 2 + 7 + 1 = 3 (mod 7), soit mercredi.

Le 9 mai était un mercredi, le 30 aussi, le 30 mai 1431 était un mercredi.

Le numéro de semaine selon la norme ISO 8601 peut être utilisé avec le calendrier milésien.

La semaine ISO commence lundi (jour n° 1) et finit dimanche (jour n° 7). Les semaines sont désignées par leur numéro, de 1 à 53. La semaine 1 de chaque année ISO est celle qui comprend le premier jeudi de l’année grégorienne, ou de manière équivalente, celle qui comprend le 4 janvier.

On peut construire une définition du numéro de semaine milésien permettant de désigner les semaines de la même manière, au prix d'une petite entorse: la définition d'une semaine 0, pour désigner la dernière semaine de l'année précédente. Sous cette condition, la semaine 0 est celle qui suit le premier dimanche de l’année milésienne ordinaire (non bissextile), ou qui comprend le premier lundi de l’année milésienne bissextile. Par exemple, en 2015, la semaine 0 commence lundi 2 unème, et la semaine 1 commence le 9 unème soit le 29 décembre.

La définition en milésien apparaît compliquée, elle permet de reproduire une aberration de la semaine ISO due au placement du jour bissextile grégorien à la fin de février. Observez ce qui se passe pour deux années de clavedi dimanche: le lundi 1er mars 2004 (année bissextile) ouvre la semaine 10, alors que le lundi 1er mars 2010 (année commune) ouvre la semaine 9. Les 43 dernières semaines de 2004 sont décalées d'une unité par rapport à celles de 2010, alors qu'elles couvrent des dates absolument identiques en jour de semaine, quantième et mois. Evidemment, une redéfinition de la semaine ISO soit à partir du calendrier milésien, soit à partir des premiers jours de mars du calendrier grégorien, permettrait d'éviter cette aberration, qui ne se produit que trois fois par siècle.