Calcul express de la date de Pâques
En 5 lignes, le quantième pascal D de l'année A, c'est-à-dire le nombre de jours après le 21 mars où tombe le dimanche de Pâques. A chaque ligne, les quantités à calculer sont en gras.
- A = S*100 + B*4 + N
- H = A mod 19
- R0 = [15 + 19*H + S - (S div 4) - (8*S+13) div 25] mod 30
- R = R0 - (H + 11*R0) div 319
- D = 1 + R + [4 - (S div 4) + 2*S + 2*B - N - R] mod 7
- A = B*4 + N
- H = A mod 19
- R = (15 + 19*H) mod 30
- D = 1 + R + (6 + 2*B - N - R)
mod 7
Pour chercher le reste de la division de l'année par 19, décomposer l'année en base 20 et ajouter les coefficients.
Pour multiplier une quantité par 19, la multiplier par 20 et enlever cette quantité au produit.
- A div B est le quotient de la division entière de A par B. Exemples: 5 div 3 = 1; 27 div 3,125 = 8
- A mod B est le reste positif de la division entière de A par B. Exemples: 5 mod 3 = 2, -2 mod 7 = 5.
- Il faut appliquer les opérations div et mod avec la même priorité que les opérations * (multiplication) et / (division rationnelle), c'est-à-dire avant les additions ou soustractions. Par exemple, 5 - 3 mod 7 équivaut à 5 - (3 mod 7).
- La décomposition de l'année que l'on effectue en premier donne toujours un résultat unique, tel que 0 <= N < 4 et, pour le calendrier grégorien, 0 <= 4*B + N < 100.
Pâques
La date de Pâques du calendrier grégorien peut être calculée directement dans le calendrier milésien, car les dates possibles pour Pâques, du 22 mars au 25 avril, correspondent chacune à une et une seule date milésienne, du 1er quartème au 4 quintème.
Nous proposons ici une présentation didactique de ce calcul. Nous présentons ensuite une méthode algorithmique légèrement plus simple que la méthode dite de Butcher, référence aujourd'hui,. Enfin nous exposons une méthode de calcul mental originale, qui permet au passage de calculer l'épacte grégorienne et donc de suivre la lune dans l'année.
Sur le côté de cette page, ou plus bas pour la version mobile, vous trouverez le calcul algorithmique express de la date de Pâques, en cinq lignes pour les calendriers grégorien et milésien, en quatre lignes pour le calendrier julien. La première ligne est la décomposition de l'année dont on cherche Pâques. Le résultat du calcul est ce que nous appelons le quantième pascal, c'est-à-dire le nombre de jours entre le 21 mars et le dimanche de Pâques. Les lignes intermédiaires comprennent des formules parfois complexes, mais que l'on peut chacune programmer en une seule ligne sur une calculatrice programmable ou dans un langage informatique. Ces formules sont donc directement utilisables.
Elles ont été mises en œuvre sur la page de calculs des chiffres clés annuels, ainsi que dans nos logiciels en accès libre accessibles via la boutique en ligne, y compris pour MS Excel (l'éditeur ne propose pas de calcul de Pâques).
Les méthodes de calcul de la date de Pâques sont l'application de règles appelées comput ecclésiastique. Les formules milésiennes proposées en "calcul express" sont à ce jour les plus simples pour effectuer ce calcul à la main ou écrire un programme informatique.
La présente page vous explique ci-dessous le détail du calcul.
A l'attention des spécialistes du comput grégorien, précisons que nous proposons ici un algorithme plus simple que la méthode dite de Butcher présentée notamment par Jean Meeus dans ses ouvrages de calculs astronomiques:
- la première étape consiste à décomposer explicitement l'année,
- la proemptose est calculée en une seule formule,
- la correction pour les épactes grégoriennes 24 et 25 est calculée plus tôt dans l'algorithme.
Nous avons vérifié que cet algorithme milésien donne toujours le même résultat que la méthode de Butcher.
Le comput, règle de calcul de la date de Pâques, peut être considéré comme une fonction à une variable entière, l'année, et dont la valeur est le quantième pascal, le nombre de jours à ajouter au 21 mars pour obtenir la date de Pâques. Le quantième pascal prend ses valeurs de 1 et 35, ce qui signifie que Pâques tombe 1 à 35 jours après le 21 mars, soit le 22 mars au plus tôt, le 25 avril au plus tard.
Sur le plan mathématique, l'année peut prendre n'importe quelle valeur entière positive, négative ou nulle. Sur le plan historique, le comput ecclésiastique n'a été établi pour la date de Pâques du calendrier julien qu'au cours du 6e siècle, vers 525. Ce comput julien est encore en usage dans de nombreuses églises orthodoxes restées au calendrier julien. Quant au comput grégorien, il n'est historiquement applicable qu'à partir de 1583, dans les pays utilisant le calendrier grégorien.
Dans la suite, nous décrivons comment calculer le quantième pascal à partir de l'année, selon les deux variantes du comput.
Rappelons la définition du concile de Nicée, en 325:
"Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après."
Notons dès maintenant que cette définition fait intervenir trois cycles calendaires:
- le cycle du calendrier, par la référence au 21 mars du calendrier romain; dans l'esprit des concepteurs de cette formule, cette date était réputée représenter l'équinoxe de printemps, car l'on n'avait pas encore pris conscience de la lente dérive du calendrier julien, qui allait provoquer une arrivée de l'équinoxe à une date de plus en plus précoce; en quelque sorte il était admis que le cycle du calendrier romain représentait le cycle des saisons;
- le cycle lunaire, puisque la définition se réfère au 14e jour de la lune;
- le cycle des semaines, puisque la définition précise que la date doit être un dimanche.
Compte tenu de cette définition, la détermination de la date de Pâques suit les étapes suivantes:
- chercher le 14e jour de lune arrivant le 21 mars ou immédiatement après,
- chercher le dimanche qui suit la date précédente.
On peut dès maintenant faire quelques observations:
- La date du 21 mars prise comme référence est une date de calendrier, non pas celle d'un événement astronomique. Les rédacteurs du Concile de Nicée sous-entendaient que cette date désignait l'équinoxe de printemps, ce qui était en effet le cas au 4e siècle. Ce fut formellement le cas de 312 à 347 si l'on se réfère à l'heure UTC, et au moins trois années sur quatre dans les années les plus proches précédant et suivant cette période. Mais l'année tropique durant un peu moins que 365 jours 1/4, l'équinoxe allait arriver de plus en plus tôt dans l'année julienne. La réforme grégorienne a permis d'ancrer durablement le 21 mars à l'équinoxe de printemps, avec une tolérance d'un ou deux jours.
- Chercher le dimanche qui suit le 14e jour de lune équivaut à chercher le samedi qui arrive ce 14e jour ou immédiatement après. Il s'avère plus simple de chercher ce samedi à l'aide de calculs de congruence.
- Mentionner le 14e jour de la lune, plutôt que la pleine lune, suggère qu'il s'agit d'une lune conventionnelle plus que réelle, et qu'il suffit de calculer l'âge de cette lune conventionnelle en jours entiers.
En définitive la détermination de cette date se fonde sur des calculs conventionnels, et non sur l'observation réelle de l'équinoxe ou de la lune. Ce point de vue s'oppose notamment à celui de nombreuses communautés de l'Islam, suivant lequel l'observation du croissant de lune au coucher du soleil est le critère ultime déterminant le début du mois lunaire et certaines fêtes.
Nous proposons d'introduire trois variables intermédiaires permettant de comprendre chacune des étapes de calcul.
- Le reliquat de pleine lune pascale ou reliquat pascal, Rp, est le nombre de jours entre le 21 mars et le 14e jour de la lune. Ce nombre peut être 0 si ce 14e jour de lune tombe justement le 21 mars. Notez que certains spécialistes appellent terme pascal ce 14e jour de lune.
- L'écart pascal Ep est le nombre de jours entre ce 14e jour de lune et le samedi le plus proche: le même jour ou au maximum 6 jours plus tard. Ce samedi est le samedi saint, veille du dimanche de Pâques.
- Le quantième pascal Dp est le nombre de jours entre le 21 mars et le dimanche de Pâques. Connaître le quantième pascal, c'est connaître la date de Pâques, à une conversion de date près. Si le quantième est 1, Pâques est le 22 mars, s'il est 2, Pâques est le 23 mars, et ainsi de suite.
Par définition Dp = Rp + Ep + 1.
Les deux méthodes présentées ici, l'une pour le calendrier julien, l'autre pour les calendriers grégorien et milésien, reviennent à
- décomposer l'année en vue du calcul,
- calculer le reliquat pascal Rp éventuellement corrigé (première étape),
- calculer l'écart pascal Ep (deuxième étape),
- en déduire le quantième pascal Dp, qu'il suffit ensuite de convertir en date dans le calendrier souhaité.
Rappelons que nous notons, pour X entier relatif et K entier strictement positif:
- X div K le quotient de la division entière à reste positif de X par K, et
- X mod K (X modulo K) le reste positif de la division entière de X par K.
Précisons encore cette notation:
-1 div 3 = -1 et non pas 0;
-1 mod 3 = 2;
car la division entière à reste positif de -1 par 3 répond à l'équation: -1 = -1*3 + 2.
De plus, les opérateurs "div" et "mod" ont même précédence (ou priorité) que la multiplication ou la division rationnelle, c'est-à-dire que par exemple 4 + 5 div 3 se calcule comme 4 + (5 div 3).
Nous nous intéressons d'abord à la seconde étape, le calcul de l'écart pascal, nombre de jours entre la pleine lune pascale et le samedi qui suit. Nous nous appuyons sur les méthodes de calculs de jours de semaine de la page 
semaines. Toutefois, nous utilisons des formules de calcul explicites plutôt que des étapes de calcul mental.
Notons dès maintenant que si nous connaissons L, le rang du jour de semaine d'une date, le nombre de jours séparant cette date du samedi suivant, jour de rang 6, est (6 - L) mod 7. Nous faisons couramment cette opération de tête sans nous en rendre compte.
Si donc, pour une année A donnée, nous connaissons P, le rang de son clavedi (donc rang du jour de semaine du 21 mars), et Rp, son reliquat pascal, nous connaissons le jour de semaine de la pleine lune pascale: (P+Rp) mod 7.
L'écart pascal Ep est donc donné par la formule:
Ep = (6 - P - Rp) mod 7.
Dans le cas des calendriers grégorien et milésien on peut donner pour P une formule simple pour les calculateurs numériques, en décomposant A en siècles et quadriennies:
A = S*100 + 4*B + N
P = 2 + S div 4 - 2*S - 2*B + N
Il vient alors : Ep = (4 - S div 4 + 2*S + 2*B - N - Rp) mod 7
Dans le cas du calendrier julien, nous n'avons même pas besoin de la balise de siècle:
A = 4*B + N, où B représente le nombre d'années bissextiles après l'an 1.
P = -2*B + N
Ep = (6 + 2*B - N - Rp) mod 7
Il ne nous reste plus qu'à calculer le reliquat pascal Rp, selon les méthodes respectivement applicables aux calendriers julien puis grégorien et milésien, et d'établir les algorithmes correspondants.
La seule définition du concile de Nicée ne permet pas d'obtenir une date de Pâques uniforme sur toute la terre. Certaines années où il est difficile de déterminer si la pleine lune de printemps a lieu un dimanche ou la veille de ce dimanche, la date de Pâques peut être incertaine d'une semaine. Pire, si la pleine lune a lieu à la limite entre le 20 et le 21 mars, l'ambiguïté peut porter sur 4 ou 5 semaines. C'est au 6e siècle après Jésus-Christ que l'Eglise a défini un algorithme donnant un résultat dépourvu d'incertitude. Le moine Denys Le Petit, celui-là même qui a choisi l'origine de notre ère en raison de bonnes propriétés astronomiques de l'an 0, a établi la méthode en s'appuyant sur le cycle de Méton, connu des anciens Grecs. Le cycle de Méton, ou plus précisément le cycle de Méton-Callippe, est un cycle de 19 années juliennes (de 365,25 jours), soit 6939,75 jours, au terme duquel la lune se retrouve pratiquement à la même phase, à quelques heures près. Le cycle de Méton original comptait 6940 jours, Callippe a proposé de retirer un jour tous les 76 ans soit tous les quatre cycles, ce qui revient à compter 6939,75 jours par cycle. Dans l'antiquité, et comme semble-t-il Thalès de Milet l'avait suggéré, l'année julienne de 365 jours un quart correspondait à l'année tropique, mais les calendriers des cités grecques étaient des calendriers luni-solaires, comme le calendrier hébraïque actuel. Le cycle de Méton permettait d'évaluer l'arrivée des saisons dans un calendrier luni-solaire. Aujourd'hui, c'est plutôt le contraire, nous évaluons les phases de la lune dans notre calendrier solaire.
Le problème posé à Denys le Petit n'était pas de déterminer tous les mois lunaires dans le calendrier, mais uniquement de trouver la date de la pleine lune de printemps chaque année d'une manière robuste pour que tous les évêchés trouvent le même résultat. Pour ce faire Denys le Petit a drastiquement simplifié le modèle de cycle lunaire. Selon ce modèle simplifié:
- le cycle lunaire est de 30 jours, il est en quelque sorte "anamorphosé" par rapport à la lune moyenne de 29 jours 12 heures 44 mn 2,8 s.
- le cycle de l'année solaire est uniquement caractérisé par un 21 mars que nous appellerons julien: c'est un instant qui revient tous les 365,25 jours, et donc dérive de 6 heures chaque année non bissextile par rapport aux dates réelles du calendrier, mais est compensé d'un jour chaque année bissextile;
- au cours d'un cycle de Méton-Callippe de 19 ans, la pleine lune pascale se rapproche de 11 jours chaque année julienne ou, de manière équivalente, s'éloigne de 19 jours (30 - 11);
- la première année du cycle, c'est-à-dire l'an 0 des astronomes, la pleine lune pascale a lieu 15 jours après le 21 mars julien.
Au fond, plutôt que de calculer le cycle lunaire dans chaque année calendaire avec une précision de quelques heures, Denys le Petit propose de ne considérer que deux cycles:
- le cycle de l'année julienne, qui décale la lune de 11 jours modulo 30,
- le cycle de Méton-Callippe de 19 années juliennes.
18 ans après l'origine du cycle de Méton, la lune ainsi calculée s'est décalée de 198 jours, soit 18 jours modulo 30. Pour se retrouver l'année suivante à la même place qu'à l'origine du cycle, elle devra se décaler de 12 jours, soit un jour de plus que les autres années. C'est au fond la règle d'intercalation lunaire de la méthode originelle de Méton.
Le numéro de chacune des 19 années du cycle de Méton est appelé le nombre d'or: il vaut 1 la première année du cycle, jusque 19 la dernière année. Il est plus simple d'utiliser le nombre d'or moins un, que nous appellerons Nomu, qui est le reste de la division de l'année par 19, le rang (et non pas le numéro) de l'année dans le cycle de Méton. Attention à ne pas confondre ce nombre d'or avec le rapport de proportion idéal utilisé notamment par les artistes de la Renaissance.
L'algorithme s'exprime en quatre étapes, pour l'année A du calendrier julien.
- Décomposer A.
A = 4*B + N
Calculer H, le Nomu (nombre d'or moins un):
- H = A mod 19
Calculer Rp, reliquat pascal, c'est-à-dire la date de la pleine lune pascale exprimée en nombre de jours après le 21 mars. Ce reliquat vaut 15 jours l'année origine du cycle de Méton, et augmente de 19 jours chaque année du cycle, pour une lune moyenne anamorphosée à 30 jours:
- Rp = (15 + 19*H) mod 30
Calculer le quantième pascal Dp, en intégrant l'écart pascal Ep = (6 + 2*B - N - Rp) mod 7:
- Dp = 1 + Rp + (6 + 2*B - N -Rp) mod 7
Cette méthode est celle de Delambre.
L'algorithme s'exprime en quatre étapes, pour l'année A du calendrier julien.
- Décomposer A.
A = 4*B + N
Calculer H, le Nomu (nombre d'or moins un):
- H = A mod 19
Calculer Rp, reliquat pascal, c'est-à-dire la date de la pleine lune pascale exprimée en nombre de jours après le 21 mars. Ce reliquat vaut 15 jours l'année origine du cycle de Méton, et augmente de 19 jours chaque année du cycle, pour une lune moyenne anamorphosée à 30 jours:
- Rp = (15 + 19*H) mod 30
Calculer le quantième pascal Dp, en intégrant l'écart pascal Ep = (6 + 2*B - N - Rp) mod 7:
- Dp = 1 + Rp + (6 + 2*B - N -Rp) mod 7
Cette méthode est celle de Delambre.
Le calendrier avait fini par prendre 10 jours de retard sur le soleil, et de plus le décalage de quelques heures d'un cycle de Méton-Callippe à l'autre avait fini par devenir quelques jours. C'est en 1582 que le pape Grégoire XIII a promulgué le calendrier grégorien. La partie spectaculaire a été l'effacement soudain de 10 jours, puisque le 4 octobre julien a été suivi du 15 octobre grégorien. C'est cette nuit que sainte Thérèse d'Avila est décédée, et les esprits farceurs disent qu'elle a eu la nuit d'agonie la plus longue. La partie moins spectaculaire de la réforme, mais tout aussi importante, a été le changement de mode de calcul de la date de Pâques. Un point clé est que certaines corrections sont faites certaines années de siècles, et il faut donc désormais décomposer l'année A en S*100 + 4*B + N. Les astronomes du Vatican ne conçurent pas une méthode nouvelle mais firent évoluer la méthode fondée sur le cycle de Méton-Callippe de la manière suivante.
- Ils définirent l'épacte - que je qualifie de grégorienne, voir à cette page les définitions de l'épacte, âge de lune au 1er janvier diminué de 1. Comme avec Denys le Petit, il s'agit d'un premier janvier "julien", éloigné du suivant de 365,25 jours, sans différence entre les années bissextiles et communes. En conséquence, c'est aussi l'âge de la lune la veille du 1er mars. Il existe une relation très simple entre l'épacte grégorienne K et le reliquat pascal avant correction R0: la somme modulo 30 de ces deux quantités est toujours 23. Pour le calcul algorithmique de la date de Pâques, il est plus simple de s'intéresser au reliquat pascal R0 sans passer par l'épacte, ce que nous ferons ici.
- Les astronomes tinrent compte du décalage introduit par l'adjonction d'années de siècle non bissextiles. Ce décalage est tout simplement le nombre S d'années de siècle depuis l'origine, diminué du nombre d'années multiples de 400: S - (S div 4). La métemptose est la correction qui prend en compte ce décalage. Pour appliquer cette correction, on retire à l'épacte grégorienne un jour par année de siècle non bissextile comptée depuis l'origine de l'ère chrétienne. Ou, de manière équivalente, on ajoute S - (S div 4) au reliquat pascal.
- Ils tinrent compte de la dérive du cycle de Méton-Callippe, que connaissait déjà l'astronome grec Hipparque. Ce dernier avait proposé, dès le second siècle av. J.-C., de supprimer au calendrier d'Athènes un jour tous les 4 cycles de Callippe, soit tous les 304 ans. Plus précisément, la lune moyenne vieillit d'un jour de plus que celle de Callippe en 312 ans, ce qui fait 8 jours tous les 25 siècles. La correction correspondante, appelée proemptose, est calculée via un cycle de 25 siècles, que nous appelons cycle de proemptose. Ce cycle est constitué de 7 phases de 3 siècles et 1 phase de 4 siècles; à chaque nouvelle phase, il faut augmenter d'un jour l'âge de lune, ou de manière équivalente diminuer d'un jour le reliquat pascal. L'intérêt de ce système est que le saut d'épacte, ou saut de reliquat, se produit uniquement en année de siècle, et que par ailleurs la proemptose peut compenser la métemptose. En définitive il peut y avoir uniquement en année de siècle un saut d'épacte (et donc saut de reliquat pascal) de -1, 0 ou +1. La proemptose augmente l'épacte grégorienne d'un jour en 1800, puis à nouveau d'un jour en 2100, puis en 2400 et ainsi de suite tous les 3 siècles jusque 3900, puis à nouveau d'un jour en 4300, début d'un nouveau cycle. Notez qu'en 1800 et 2100, la métemptose vient diminuer l'épacte grégorienne que la proemptose devait augmenter, il n'y a finalement pas de saut d'épacte. En 2000, il n'y a ni métemptose ni proemptose, donc pas de saut d'épacte.
- En définitive, la suite des 19 valeurs que prend le reliquat pascal au cours du cycle de Méton-Callippe change certaines années de siècle, alors que cette suite était fixe dans le système de Denys le Petit. Or, dans cet ancien système, le reliquat pascal ne prenait jamais la valeur 29. La plus grande valeur rencontrée était 28. La pleine lune pascale tombait alors le 18 avril. Pâques arrivait alors au maximum 7 jours plus tard, soit le 25 avril, 35 jours après le 21 mars. Afin que Pâques ne puisse jamais tomber plus tard que le 25 avril, les astronomes grégoriens spécifièrent que quand le reliquat pascal calculé était 29, il fallait le corriger en 28. Mais cela créait un nouveau problème: un même cycle de Méton pouvait présenter deux fois un reliquat pascal de 28, le premier par correction du reliquat calculé de 29, le second par calcul naturel. En effet, à partir du rang 11 (nombre d'or 12) du cycle de Méton-Callippe, la série des reliquats pascals est celle des premiers rangs, avec une valeur diminuée de 1. Par exemple, en 1900, première année du cycle, le reliquat pascal est 24, et en 1911, douzième année du cycle, le reliquat pascal est 23. Il fut donc ajouté une autre règle: quand le reliquat pascal calculé est 28 pour une année de Nomu (rang) au moins égal à 11 (de nombre d'or supérieur à 11), ce reliquat pascal est corrigé en 27. Ce jeu de règles s'appelle la correction, et peut s'exprimer à partir de l'épacte et du nombre d'or:
- si l'épacte est 24 (reliquat pascal brut 29), le reliquat pascal corrigé est toujours 28;
- si l'épacte est 25 (reliquat pascal brut 28), le reliquat pascal est 28 tant que le nombre d'or est inférieur ou égal à 11; il est corrigé en 27 pour les valeurs de nombre d'or supérieures à 11.
L'algorithme dit de Butcher fait partie des deux algorithmes de calcul de la date de Pâques rapportés par Jean Meeus, astronome belge contemporain, pour le calcul de la date de Pâques. Nous avons modifié cet algorithme, que nous pouvons appeler algorithme milésien de calcul de la date de Pâques, de la manière suivante:
- Pour rappel, nous commençons par décomposer explicitement l'année en trois composantes. Les algorithmes classiques présentent des suites de divisions entières dont la présentation est peu claire, alors que l'on peut facilement définir une fonction de décomposition.
- La proemptose est calculée en une seule formule, qui représente le cycle de 8 périodes, chacune de 3 siècles sauf une qui dure 4 siècles, au total 25 siècles. Le pasteur et mathématicien Christian Zeller avait établi cette formule dans un de ses articles, cela donne: (8*S + 13) div 25, S étant le chiffre des siècles dans la décomposition de l'année.
- La formule de calcul de la correction fait intervenir l'écart pascal. Or cet élément n'est pas utile. On peut simplifier le calcul et le rationaliser en calculant un "reliquat pascal corrigé" avant de calculer l'écart pascal, sachant que le résultat final, le quantième pascal, est dans les deux cas absolument le même (nous l'avons vérifié pour les 5 700 000 cas possibles). La correction du reliquat pascal est donnée par la formule: (H + 11*Rp0) div 319, qui vaut 1 si Rp0 vaut 29, ou si Rp0 vaut 28 et H est supérieur ou égal à 11, et vaut 0 pour toutes les autres combinaisons des valeurs possibles de H (0 à 18) et de Rp0 (0 à 29).
L'algorithme milésien de calcul de la date de Pâques grégorienne est finalement le suivant:
- Décomposer l'année
A = S * 100 + B * 4 + N
- Calculer le nombre d'or moins un:
H = A mod 19
- Calculer le reliquat pascal brut:
Rp0 = (15 + 19*H + S - (S div 4) - (8*S+13) div 25) mod 30
S - S div 4 représente la métemptose, (8*S + 13) div 25 représente la proemptose.
- Appliquer l'éventuelle correction pour obtenir le reliquat pascal corrigé:
Rp = Rp0 - ( (H + 11*Rp0) div 319 )
Le second terme vaut généralement 0, il ne vaut 1 que quand la correction doit s'appliquer.
- Calculer le quantième pascal, en intégrant l'écart pascal
Dp = 1+ Rp + (4 - S div 4 + 2*S + 2*B - N - Rp) mod 7
En calendrier milésien, le quantième pascal Dp est tout simplement le quantième dans le mois de quartème. Si le quantième est 1, Pâques est le 1 4m, etc. Si le quantième pascal est plus grand que 31, on lui enlève 31 pour obtenir le quantième du mois de quintème. La valeur la plus grande est 35, Pâques ayant alors lieu le 4 quintème ou 25 avril.
Par exemple, le quantième pascal de 2015 est 15, Pâques est le 15 quartème (5 avril). Autre exemple: en 2000 le quantième pascal est 33 = 31+2. Pâques a eu lieu le 2 quintème (23 avril).
Si l'on veut obtenir par calcul la date de Pâques dans le calendrier julien ou grégorien, on peut utiliser le petit algorithme suivant qui donne cette date à partir du quantième pascal D:
- Faire la division entière de (D + 113) par 31.
- Le quotient est le numéro du mois: 3 ou 4, selon que c'est mars ou avril.
- Le reste, augmenté de 1, est le quantième dans le mois.
On peut plus simplement faire le calcul mental suivant:
- Pour 1 <= D <= 10, Pâques est en mars, le quantième est 21 + D. Pour D = 10, Pâques est le 31 mars.
- Pour D >= 11, Pâques est en avril, le quantième d'avril est D - 10, facile à calculer. Pour D = 11, Pâques est le 1er avril, pour D = 35, Pâques est le 25 avril.
Les calculs du comput font souvent intervenir des divisions entières et des multiplications par 19, un multiplicateur dont on n'apprend pas les tables à l'école. De plus, les calculatrices à quatre opérations ne proposent jamais la division entière. Heureusement, 19 présente de bonnes propriétés, car c'est 20 - 1. Dès lors, on peut chercher le reste à partir de la décomposition du dividende en base 20, et multiplier par 19 revient à multiplier par (20 - 1), qui est beaucoup plus simple.
La base 20 est bien plus naturelle que l'on croit. Nous Français comptons en base 20 à partir de 60, et avons remplacé le terme octante (ou huitante) de nos amis suisses et belges par quatre-vingts. L'Hospice des Quinze-Vingts (c'est-à-dire des Trois Cents) rappelle encore cette vieille façon de compter de (certains de) nos ancêtres les Gaulois.
Pour manier des années en base 20, nous n'avons guère que deux multiplicateurs à retenir: 20 et 400. Le multiplicateur suivant, 8000, ne devrait pas être utilisé avant un certains temps. Déterminons donc le nomu, nombre d'or moins un, d'une année A. Pour cela on décompose A en base 20:
A = U*400 + V*20 + W
Le nomu H, reste de la division de A par 19, est tout simplement:
H = (U + V + W) mod 19
Nous utilisions couramment cette propriété pour faire "la preuve par neuf", en ajoutant les chiffres de chacun des facteurs d'une multiplication pour en vérifier le résultat. Cette propriété est générale à tous les diviseurs inférieurs de un à une base.
Exemple pour 1879, année de naissance d'Albert Einstein:
- 1879 = 4*400 + 13*80 + 19
- H = (4 + 13 + 19) mod 19 = 4 + 13 = 17
Le "nombre d'or moins un" est 17, le nombre d'or est 18. Vous pouvez vérifier ce résultat sur le calculateur annuel en ligne.
Pour le calcul du reliquat pascal, il faut multiplier H par 19, il suffit de multiplier par 20 et de retirer H, puis de prendre le reste modulo 30. Ainsi, avec l'exemple précédent:
H*19 = 17*(20 - 1) = 17*20 - 17 = 340 - 17 = 323.
Or 323 = 300 + 23 = (30 x 10) + 23. Le reste modulo 30 est 23.
Pour obtenir le reliquat pascal de 1879, il faut ajouter la valeur trouvée, 23, au reliquat pascal d'une année où H=0: c'est le reliquat pascal à l'origine du cycle de Méton. Avec le calendrier grégorien, cette valeur saute d'une unité certaines années de siècles. Pour les années 1700 à 1900, la valeur à l'origine est 23. En ajoutant modulo 30 cette valeur à la valeur trouvée pour 1879, on trouve 46, donc 16. Ce que vous pouvez vérifier avec le calculateur annuel en ligne.
Il est possible de calcul la date de Pâques par calcul mental jusqu'à l'année 2199. Ce calcul nécessite plusieurs étapes, mais peut être conduit sans papier ni crayon. Il existe quelques variantes. Ici je propose de calculer l'épacte grégorienne, ce qui permet, en plus de Pâques, d'estimer la lune à toute date de l'année, comme expliqué à la page Lune. Par ailleurs, pour calculer l'épacte plutôt que le reliquat pascal, on fait une multiplication par 11 plutôt que par 19, ce qui est plus simple.
1. Calculer le clavedi de l'année, comme expliqué page Semaines. Pour 2011 par exemple, on trouve 1, soit lundi.
2. Calculer le nomu, Nombre d'Or Moins Un. C'est le reste de la division de l'année par 19. Pour cela, il faut décomposer l'année en base 20, et ajouter modulo 19 les éléments de cette décomposition.
En toute généralité, l'année se décompose en A x 400 + B x 80 + C. Chaque centaine correspond à "cinq-vingts".
Pour les années égales ou postérieures à 1900, on remplace l'année par le nombre d'années après 1900, car 1900 est multiple de 19. Ainsi, on peut remplacer 2011 par 111, c'est-à-dire 5 vingts + 11. Le Nomu est (5 + 11) modulo 19, soit 16.
3. Multiplier le nomu par 11, c'est-à-dire le multiplier par 10 et l'ajouter au résultat. Par exemple, pour un Nomu de 16, c'est 160 + 16 = 176. Vous voyez enfin l'intérêt de compter en base 20...
4. Ajouter l'épacte à l'origine c'est-à-dire l'épacte quand le Nomu vaut 0. L'épacte à l'origine résulte de la métemptose et de la proemptose. Elle ne change que certaines années de siècles. Voici les valeurs à retenir en pratique:
| Cas | Épacte à l'origine |
| Calendrier julien | 8 |
| Grégorien 1583-1699 | 1 |
| Grégorien 1700-1899 | 0 |
| Grégorien 1900-2199 | -1 |
Pour l'exemple de 2011 ci-dessus, on obtient donc 176 - 1 = 175.
4. Calculer le reste modulo 30 du résultat. Les multiples de 30 se repèrent facilement. Avec le cas ci-dessus, 175 = 150 + 25, le reste est 25. L'épacte grégorienne permet de suivre la lune de l'année, selon ce qui est indiqué à la page Lune.
6. Obtenir le reliquat pascal corrigé:
- en règle générale, retirer l'épacte à 23 modulo 30, c'est-à-dire à 23 ou à 53;
- si l'épacte est 24, le reliquat pascal doit être corrigé en 28 plutôt que 29; dans la période 1900-2199, c'est notamment le cas avec un nomu de 5.
- si l'épacte est 25, le calcul du reliquat pascal donne 28, valeur "normale". On garde cette valeur pour un nomu de 0 à 10 inclus: par exemple en 1700-1899, pour un nomu de 5; en revanche le reliquat pascal est corrigé en 27 pour un nomu supérieur ou égal à 11: dans la période 1900-2199, c'est le cas avec un nomu de 16, comme en 2011.
7. Calculer la date de la pleine lune pascale: ajouter au 21 mars le reliquat pascal corrigé. Avec un reliquat de 0, c'est le 21 mars; un reliquat de 10, le 31 mars; un reliquat de 11, le 1er avril, jusqu'au reliquat de 28 qui correspond au 18 avril. En 2011, le reliquat corrigé est de 27, la pleine lune pascale est le 17 avril.
8. Trouver le jour de semaine de cette pleine lune pascale, grâce au clavedi que vous avez calculé en 1. Comme le 21 mars est un jour pivot, il suffit d'ajouter modulo 7 le clavedi et le reliquat pascal. En 2011 c'est (1 + 27) modulo 7 = 0, la pleine lune pascale tombe dimanche 17 avril.
9. Rechercher le dimanche suivant: c'est le dimanche de Pâques. En 2011, c'est dimanche 24 avril.
Nous avons à dessein pris un exemple un peu difficile: une année d'épacte 25 et dont la pleine lune pascale tombe un dimanche. Si vous maîtrisez cet exemple, vous devriez être à l'aise avec tous les autres cas.
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