L'intercalation postfixe du calendrier milésien
Le jour intercalaire ou supprimé, en rouge, est toujours en fin de cycle.
Bimestre ordinaire: 2 x 30 + 1 = 61 j
Année cave: 6 x 61 - 1 = 365 j
Quadriennie pleine: 4 x 365 + 1 = 1 461 j
Siècle cave: 25 x 1 461 - 1 = 36 524 j
Quadrisécule plein:
4 x 36 524 + 1 = 146 097 j
Intercalation
L'intercalation consiste à ajouter un élément supplémentaire dans un cycle à nombre entier d'éléments pour le maintenir en phase avec un cycle naturel. Pour un référentiel de temps comme un calendrier, c'est ajouter un élément de base, comme une seconde, un jour, une semaine ou un mois, pour rester en phase avec un cycle astronomique.
L'intercalation la plus connue est l'intercalation solaire, qui consiste à ajouter un jour supplémentaire à l'année de 365 jours pour recaler l'année civile sur l'année tropique, c'est-à-dire sur le cycle des saisons. Mais le concept d'intercalation concerne aussi les secondes, les mois et les semaines.
Le système d'intercalation des calendriers purement lunaires comme les calendriers musulmans définit l'alternance des mois de 29 et de 30 jours permettant de suivre la lune, dont le cycle moyen est de 29,53089 jours. Les règles d'intercalation précisent à quels moments on ajoute un 30ème jour à un mois de 29 jours pour que les mois du calendrier ne dérivent pas par rapport aux lunaisons observées.
De manière semblable le calendrier en semaines défini par l'ISO comprend lui aussi une règle d'intercalation implicite. Certaines années du calendrier en semaines comptent une semaine supplémentaire, la semaine 53, comme c'est le cas en 2004, 2009, 2015, 2020...
Les calendriers luni-solaires comme le calendrier hébraïque définissent deux règles d'intercalation: celle relative aux mois de 29 ou 30 jours, et celle relative aux années ayant un mois lunaire supplémentaire, puisque douze mois lunaires ne font que 354 ou 355 jours. Dans le calendrier hébraïque, il existe d'autres règles qui font que le nouvel an ne peut tomber que certains jours de semaine.
Dans l'histoire de la mesure du temps, l'intercalation de la seconde est celle qui est apparue le plus récemment. Les hommes ont commencé à intercaler un mois lunaire pour recaler le cycle de douze lunaisons avec le cycle des saisons. Ensuite, avec des mois lunaires de durée figée à l'avance, et avec le calendrier solaire, les hommes ont intercalé un jour pour recaler le mois conventionnel avec le mois lunaire, ou pour recaler l'année de 365 jours avec le cycle des saisons.
Jusqu'au 20e siècle, la durée du jour était la référence des unités de mesure du temps. Aujourd'hui, la seconde est définie de manière extrêmement précise à partir de phénomènes atomiques. La durée du jour est une donnée constatée, soumise à long terme à un ralentissement d'environ 2 millisecondes par siècle, et à des variations de court terme difficiles à prévoir. La seconde des horloges civiles, 86400e partie du jour moyen, est très légèrement différente de la seconde des physiciens. Par ailleurs, l'on sait depuis la théorie de la Relativité d'Albert Einstein que le temps physique dépend lui-même de la trajectoire de l'observateur. Il faut donc jongler entre différents référentiels de temps quand on s'occupe de mouvements des corps célestes.
Retenons les deux échelles de temps de base pour ceux qui s'intéressent aux phénomènes observables à l'échelle de la Terre:
- Le temps terrestre TT est le temps des physiciens mesuré (en principe...) au centre de gravité de la Terre. C'est un référentiel de temps uniforme, dans lequel on peut exprimer les lois des mouvements des corps proches de la Terre, et avec lequel on peut dater précisément tout événement observable sur terre.
- Le temps UTC, temps universel coordonné, base du temps indiqué par toutes les horloges civiles. C'est par convention le temps moyen au méridien de Greenwich. Cette base de temps doit indiquer midi (12 heures) quand le soleil passe par le midi moyen.
L'unité de base des deux échelles de temps est la seconde des physiciens, que toutes les horloges modernes reproduisent avec une précision bien suffisante pour la vie courante. A cause des irrégularités et de la dérive de la durée du jour, il faut de temps en temps ajouter, ou plus rarement retirer, une seconde au temps civil UTC pour que nos horloges donnent une heure en rapport avec la rotation terrestre. C'est particulièrement important pour que nos équipements GPS nous donnent une position exacte. Le réseau des observatoires astronomiques du monde se concerte afin d'ajouter ou de retrancher une seconde au temps UTC. Quand elle est nécessaire, cette modification est programmée un 30 juin ou un 31 décembre à la fin de la journée UTC. Soit la seconde 59 de 23 heures 59 minutes est supprimée, soit une seconde 60 est insérée après 23 heures 59 minutes 59 secondes.
La chronique des secondes retirées ou ajoutées à UTC caractérise l'écart entre les deux échelles de temps. Cet écart, nommé Delta T, est défini par la formule:
UTC = TT - Delta T
Avec 
l'horloge milésienne, nous proposons une estimation de Delta T .
La division en mois des calendriers solaires fait appel aussi à la technique d'intercalation.
Le mois d'un calendrier solaire ne représente pas une lunaison, mais la division par douze de l'année tropique. Or l'année tropique dure environ 365,2421 jours, alors que les deux plus proches multiples de 12 sont 360 et 372. Sur la base de mois de 30 jours, il est donc nécessaire d'intercaler cinq ou six jours par année calendaire. Les principes suivants ont été retenus pour les grands calendriers solaires:
- celui inspiré du calendrier égyptien: 12 mois de 30 jours, le dernier mois étant suivi de 5 ou 6 jours complémentaires avant le nouvel an; les calendriers copte, éthiopien et révolutionnaire français sont construits sur ce principe;
- celui inspiré du calendrier persan: une première série de mois de 31 jours, puis une seconde série de mois de 30 jours, avec souvent un mois irrégulier, le mois comportant le jour d'intercalation solaire; outre le calendrier persan, le calendrier indien moderne suit ce principe;
- le principe d'alternance des mois de 30 et de 31 jours; le calendrier de Jules César est fondé sur cette idée, mais avec plusieurs irrégularités; le calendrier milésien exploite pleinement ce principe.
Les mois du calendrier de Jules César suivent des règles irrégulières, avec des mois de 31 jours qui se succèdent (juillet-août et décembre-janvier), et avec la curiosité du mois de février de seulement 28 jours. C'est dans ce mois de février, à l'origine le dernier de l'année, que les Romains intercalaient un mois supplémentaire selon les indications parfois fantaisistes des pontifes de Rome. L'intercalation se faisait à l'intérieur de ce mois des morts pour ne pas modifier symboliquement sa durée de 28 jours, et ne pas troubler les puissances infernales. Avec la réforme julienne, le mois intercalaire fut supprimé; un jour intercalaire fut institué par redoublement du sixième jour avant les calendes de mars, soit le 24 février. Car pour les Romains, le jour des calendes, début du mois, comptait comme premier jour, le dernier jour du mois précédent était le deuxième avant les calendes, et ainsi de suite. Ce "sixième jour bis", bis sextus dies, a donné notre mot bissextile.
A ces défauts, dus en partie à la superstition des Romains, il faut ajouter le curieux choix d'avoir décidé que le solstice d'été devait arriver le 25 juin plutôt que le 1er juillet, alors que les Egyptiens, inspirateurs de la réforme julienne, avaient à l'origine calé le début de l'année sur le solstice d'été, marqué par la crue du Nil. La raison de ce choix est totalement conjoncturelle. Le calendrier romain avait des mois lunaires, donc le dernier jour de ce calendrier tombait nécessairement à la fin d'une lunaison. Le 1er janvier 709 A.U.C. (Ab Urbe Condita, après la fondation de Rome), premier jour du nouveau calendrier, est tombé au début d'une lune, et non pas au solstice d'hiver.
Compte tenu de la durée inégale des saisons et de la dérive du calendrier julien sur l'année tropique, l'Eglise retiendra quelques siècles plus tard le 21 mars comme date conventionnelle de l'équinoxe de printemps, à partir de laquelle sera définie la date de Pâques.
La règle d'intercalation solaire constitue la différence essentielle du calendrier grégorien par rapport au calendrier julien. Dans le calendrier julien, les années de 366 jours arrivent tous les quatre ans. Avec la réforme grégorienne est défini un cycle de 400 ans au cours duquel toutes les années multiples de 4 sont bissextiles, sauf trois années, elles-mêmes multiples de 100 mais non multiples de 400. Il n'a pas été question de réformer les mois, car il fallait maintenir comme référence le 21 mars, pivot du calcul de la date de Pâques. La suppression de 10 jours lors de la réforme grégorienne recale le calendrier par rapport aux saisons tel qu'il était aux troisième et quatrième siècles, à l'époque où fut fixée la date de Pâques, et non pas tel qu'il était lors de sa promulgation en 45 av. J.-C.
Le calendrier milésien systématise les règles d'intercalation de la manière suivante: tout jour supplémentaire ou supprimé est placé à la fin d'un cycle. C'est le principe d'intercalation postfixe intégrale.
Le cycle le plus fin est le bimestre. Il comprend deux mois, dont l'un d'entre eux comprend très souvent, mais pas toujours, un jour supplémentaire. C'est toujours le second et dernier mois du bimestre qui subit cette variation. La plupart du temps, ce second mois a un jour de plus, 31 jours alors que le premier en a 30. En revanche le dernier bimestre de l'année perd le plus souvent ce jour supplémentaire. Ce jour d'ajustement, 366e jour des années longues, est le dernier jour du dernier mois du dernier bimestre, et aussi le dernier jour de l'année. Les intercalations de jours à l'intérieur de l'année sont postfixes.
Comme nous allons le voir, les règles grégoriennes sur les années bissextiles déterminent elles aussi des intercalations postfixes, à conditions de définir les cycles de manière adéquate.
Adoptons d'abord une convention courante chez les astronomes, mais non chez les historiens: celle de l'année algébrique. Les astronomes note 0. l'an 1 avant J.-C. des historiens, puis -1 l'an 2 av. J.-C. et ainsi de suite. Nous ferons aussi commencer chaque siècle par l'année multiple de 100. Le siècle 19 commence en 1900 et finit en 1999. Il diffère très légèrement du 20e siècle des historiens, qui commence en 1901 et se termine à la fin de l'année 2000.
Définissons la quadriennie (certains disent: l'olympiade), cycle de 4 années commençant chaque année multiple de 4. La plupart des quadriennies comprennent une année bissextile, puis trois années ordinaires, dont la dernière est une année abondante. Prenons par exemple la quadriennie 2012, 2013, 2014, 2015. Avec le calendrier milésien, la première année est bissextile mais cave (365 jours), les deux suivantes sont ordinaires et caves, la dernière, 2015, est ordinaire et abondante. Au total cette quadriennie compte 1461 jours. On dit que c'est une quadriennie ordinaire. L'année avec un jour intercalaire est la dernière année de la quadriennie.
Toutefois, selon la règle d'intercalation grégorienne, certaines années multiples de 4 ne sont pas bissextiles, par exemple 1900. De ce fait 1899 n'est pas une année abondante, et la quadriennie qui précède 1900 comprend 4 années caves soit seulement 1460 jours. C'est une quadriennie cave. Notons que cette quadriennie particulière se trouve à la fin du siècle.
Définissons maintenant le quadrisécule (ou quadrisiècle), cycle de 400 ans commençant chaque année multiple de 400.
Considérons par exemple le quadrisécule commençant par 1600 et finissant au seuil de l'an 2000. Le premier siècle, de 1600 à 1699, comprend 24 quadriennies ordinaires, et une 25e quadriennie cave. Ce siècle compte ainsi 36524 jours. Il en est de même des siècles 1700 à 1799, puis 1800 à 1899. Le dernier des quatre siècles, de 1900 à 1999, comprend lui 25 quadriennies ordinaires, et totalise 36525 jours. Au total le quadrisécule comprend 146 097 jours, soit exactement 20 871 semaines. Dans chaque siècle, la quadriennie ayant une durée éventuellement différente se trouve en dernier. De plus, le seul siècle ayant une durée différente des autres dans un même quadrisécule se trouve lui aussi en dernier.
Dans tous ces cycles, l'élément ayant un jour de plus ou de moins est le dernier du cycle: le dernier mois d'un bimestre, le dernier bimestre de l'année, la dernière année de la quadriennie, la dernière quadriennie du siècle, le dernier siècle du quadrisécule. L'intercalation postfixe est respectée à chaque niveau: c'est le principe d'intercalation postfixe intégrale.
L'intercalation postfixe intégrale simplifie grandement tous les calculs sur le calendrier, autant les calculs de conversion à partir d'un numéro de série de jour comme font les ordinateurs que les calculs mentaux de distance de date à date, de détermination du jour de la semaine ou de la phase de lune.
L'intercalation solaire est spécifiquement l'intercalation d'un jour supplémentaire dans un calendrier solaire, afin que celui-ci reste synchronisé avec le cycle des saisons. Il existe deux grands principes:
- ajouter un jour à l'année qui se termine pour éviter qu'un événement tropique, par exemple l'équinoxe de printemps, ne tombe avant le premier jour de l'année;
- fixer une règle générale définissant les années "longues" (ayant un 366e jour), et des règles complémentaires par lesquelles les années qui auraient dû être longues ne le sont pas.
Le premier principe est celui du calendrier persan, et a été celui du calendrier révolutionnaire français. Dans la version la plus absolue, c'est un principe d'observation pure. On ne sait avec certitude qu'une année est longue que quand elle s'est terminée avec l'observation de l'événement tropique qui marque le début de l'année suivante. En pratique, une année longue arrive 4 ans, ou plus rarement 5 ans, après la précédente. On peut définir des règles d'alternance entre les cycles de 4 et de 5 ans permettant de prévoir le calendrier longtemps à l'avance. Mais même avec de tels algorithmes, des utilisations simples deviennent très compliquées. Notamment, on ne peut compter facilement un nombre de jours entre deux dates, il faut obligatoirement recourir à une machine à calculer.
Le second principe est celui de notre calendrier grégorien. Il s'est imposé à la suite de circonstances historiques: il fallait corriger la règle trop simple de l'année longue tous les quatre ans, mais sans perdre le bénéfice des calculs sur les semaines et sur la lune qui permettait de définir la date de Pâques. La règle grégorienne définit quelles années multiples de 4 sont, par exception, non bissextiles. Seules certaines années de siècles sont sujettes à ces exceptions. A l'intérieur d'un siècle, on peut appliquer les méthodes de calcul standardisées, fondées sur l'année bissextile tous les quatre ans. Chaque siècle est caractérisé par un "saut d'épacte" (pour les calculs de lune) et par une "balise de siècle" (pour les calculs de jours de semaine selon John Conway). Les calculs d'un siècle à l'autre sont relativement simples parce qu'il est facile de repérer à quel siècle appartient une date et de faire la correction liée à un saut de siècle.
Nous avons dit plus haut que l'année tropique dure environ 365,2421 jours en moyenne. Pour être plus précis, cette valeur moyenne de l'année tropique a été calculée en référence à l'an 2000, et est valable pour la période actuelle. Mais la durée de l'année tropique n'est pas une constante. Elle augmente très lentement, de quelques centaines de millisecondes chaque siècle. Par ailleurs, la durée du jour s'allonge elle aussi, de quelques millisecondes par siècle. Les deux effets se combinent en sorte que la durée de l'année tropique moyenne, évaluée en jours solaires moyens, varie au cours du temps. D'après les modèles les plus récents sur les mouvements des planètes du système solaire, cette variation ne serait pas uniforme, elle ne serait même pas toujours de le même sens.
L'intercalation grégorienne (97 années bissextiles tous les 400 ans) correspond à une année tropique de 365,2425 jours. Cette valeur est plutôt bonne pour rendre compte de l'année tropique depuis l'an -3000 environ. Pour les périodes plus reculées, il faudrait en principe prévoir que certaines années de 100 soient bissextiles bien que non multiples de 400. L'intérêt pratique pour des études historiques reste limité.
Par rapport à la valeur actuelle de l'année tropique, la règle d'intercalation solaire grégorienne ajoute chaque année 27 secondes de trop au calendrier, ce qui fait un jour en environ 3200 ans. Nous avons proposé dans l'Heure milésienne que la règle d'intercalation grégorienne s'enrichisse d'une clause supplémentaire: tous les 32 siècles, une année multiple de 400 serait par exception non bissextile. Ce serait le cas de l'année 2400, puis 5600 etc.
Toutefois, dès l'an 4000, l'année tropique, comptée en jours moyens de cette époque, se sera raccourcie. La règle d'intercalation supplémentaire devrait alors prévoir l'élimination d'une année bissextile tous les 1600 ans environ. Et encore plus souvent dans les millénaires suivants. A plus long terme, selon la théorie actuelle, l'année tropique exprimée en jours moyens cesse de décroître.
En définitive, plutôt que de modifier la règle d'intercalation grégorienne, il serait probablement plus sage de prévoir qu'à l'échéance de certaines années multiple de 400, l'humanité, conseillée par la communauté des observatoires, décide de rendre par exception cette année commune plutôt que bissextile. Les algorithmes de calendriers seront donc tenus de suivre une chronique des années exceptionnellement non bissextiles, de même que nos montres numériques gèrent les secondes intercalaires qui sont régulièrement ajoutées pour permettre à nos GPS de continuer de fonctionner.
Les horloges et outils de conversion proposés sur le présent site proposent désormais pour le calendrier milésien la même règle d'intercalation solaire que le calendrier grégorien.
Toutefois, nous avons réalisé à titre de démonstration une restitution algorithmique du calendrier révolutionnaire français tendant à reproduire une année calendaire moyenne de 365,2421875 jours. Cette réalisation est fondée sur le principe d'intercalation postfixe intégrale jusqu'au niveau des années. Plutôt que d'utiliser les règles du calendrier grégorien, elle s'appuie sur un cycle principal de 128 ans, comprenant lui-même 3 cycles de 33 ans suivi d'un cycle de 29 ans. Les cycles de 33 ans comprennent 7 franciades de 4 ans, et une dernière franciade de 5 ans. Le cycle de 29 ans comprend une franciade de moins, soit 6 franciades de 4 ans suivie d'une franciade de 5 ans. Vous observerez que le principe d'intercalation postfixe intégrale est encore vérifié. L'année sextile est toujours la dernière de chaque franciade; la franciade longue, de 5 ans, est toujours la dernière de chaque cycle de 33 ou de 29 ans. Enfin le cycle de 29 ans, par exception plus court que les autres, est rejeté à la fin du cycle de 128 ans. Grâce à ce principe, le moteur de calcul calendaire est un même programme informatique applicable à tout calendrier présentant cette propriété. Les caractéristiques du calendrier sont spécifiées sous la forme de paramètres du moteur calendaire. Notons d'ailleurs que les calendriers julien et grégorien décalés au mois de mars, c'est-à-dire dont le nouvel an est fixé au premier mars, suivent l'intercalation postfixe intégrale.
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