Le cadran des saisons

La représentation du cycle des saisons sur un cadran divisé en douze permet d’évaluer très facilement la durée du jour et sa variation tout au long de l’année. Il suffit de superposer sur le cadran une échelle verticale représentant la durée du jour et une horizontale représentant les minutes de clarté en plus ou en moins chaque jour. Ces échelles changent avec la latitude. On a pris ici la latitude de Paris. L’aiguille sombre indique la fin du mois 2m. Comme l’indiquent les flèches fines, à cette date le jour dure 10h et la durée du jour augmente de 3 mn 30 s chaque jour. À partir de cette représentation, on peut imaginer des regroupements de mois par deux, trois ou quatre, utiliser les symétries par rapport aux axes, et faire toutes sortes d’analyses de tout phénomène lié au cycle des saisons.

L'élongation diurne

Le concept d'élongation diurne est une autre manière d'aborder la durée du jour. Appelons durée diurne le temps entre le lever et le coucher du soleil. L'élongation diurne à une certaine date est la différence algébrique entre la durée diurne à cette date, et la durée diurne moyenne qui est de 12 heures. Cette durée moyenne, moitié de la durée d'un cycle journalier complet, est à quelques minutes près la durée diurne à l'équinoxe.

A une latitude donnée, au solstice d'été, l'élongation diurne est maximale. A la latitude de Paris, elle est d'environ quatre heures, le jour dure 4 + 12 heures, soit 16 heures. Au solstice d'hiver, elle est minimale. A la latitude de Paris, l'élongation est alors d'environ - 4 h, et le jour dure 8 h. En allant vers le sud, à des latitudes plus faibles mais supérieures à 23°, l'élongation diurne maximale décroît: au tropique (vers 23°), l'élongation maximale vaut 1 h 30 min. Au contraire, en allant vers le nord, l'élongation diurne maximale atteindra 12 h à la latitude du cercle polaire arctique: le soleil ne se couchera pas ce jour-là. Et l'élongation diurne minimale sera proche de -12 h: au solstice d'hiver, le soleil n'apparaît que quelques instants au ras de l'horizon.

Les valeurs ci-dessus ont une précision de seulement 10%. En effet, à cause de la rotondité de la Terre, l'élongation diurne minimale, et maximale n'ont pas tout à fait la même valeur. Et à cause de la réfaction de l'atmosphère, on voit le soleil un peu plus que 12 heures à l'équinoxe.

L'élongation diurne un jour donné varie avec la latitude, mais le rapport entre l'élongation du jour et l'élongation maximale à la même latitude reste approximativement le même un jour donné à toute latitude. Ce rapport est le coefficient d'élongation diurne. On l'exprime en dixièmes. Ce rapport ne dépend que de la date. il prend des valeurs simples aux calendes de chaque mois milésien: -10 dixièmes le 1 1m, -9 dixièmes le 1 2m, -5 dixièmes le 1 3m, 0 le 1 4m, puis +5 le 1 5m, +9 le 1 6m et ainsi de suite.

Ces valeurs sont bien entendu approximées, car les phénomènes astronomiques ne suivent pas des lois de mouvement parfaitement uniformes. Mais la plupart du temps cette précision suffit pour estimer s'il fera jour ou nuit à une certaine heure locale d'une date donnée, en un lieu dont on connaît les élongations diurnes minimales et maximales. Le cadran de l'horloge milésienne rappelle les valeurs clés des coefficients d'élongation diurne, en dixièmes dans les pastilles de couleur.

La règle des douzièmes
 

Pour estimer la durée du jour sans cadran, on peut appliquer la règle des douzièmes que connaissent bien les marins. Cette règle est représentée sur la figure ci-contre. Soit A la différence entre la durée diurne respectivement au solstice d'été et au solstice d'hiver. C'est approximativement le double de l'élongation diurne maximale.. Appelons amplitude cette quantité A, en notant au passage que les mathématiciens et ingénieurs appellent généralement amplitude la quantité A/2. A Paris, l'amplitude est d'environ 8 heures: au solstice d'hiver le jour dure environ 8 heures, pour environ 16 heures au solstice d'été.

Selon la règle des douzièmes, le jour gagne en durée 1/12 de l'amplitude le premier mois, 2/12 le second, 3/12 le troisième et le quatrième, 2/12 le cinquième, 1/12 le sixième. Puis la durée diurne décroît de la même façon du solstice d'été au solstice d'hiver.

Avec une amplitude de 8 heures, le douzième fait 40 minutes. Du début de onzème à la fin d'unème, la durée diurne ne varie guère que de 40 minutes, soit environ 20 minutes le matin et autant le soir. Dès secondème, et donc en seulement un mois, le jour va gagner 80 minutes. En tertème et quartème, soit pendant deux mois d'affilée, la durée diurne augmente de 2 heures chaque mois. Elle augmente d'autant pendant tertème que pendant les deux mois précédents. A partir de quintème l'augmentation ralentit. Du 1er sextème au 30 septème, soit pendant deux mois, la durée diurne varie entre 15 heures 20 minutes et 16 heures. Puis le mouvement reprend à la baisse, de manière symétrique.

Remarquez que 6/12 de l'amplitude totale correspond à l'élongation diurne maximale. 3/12 correspond bien à 5 dixièmes de l'élongation maximale. En revanche, la valeur 1/12 du premier mois correspond à un peu plus de 8 dixièmes de l'élongation maximale, alors que nous avons retenu plus haut 9 dixièmes. L'un ou l'autre calcul se limite à une précision d'environ 10%, soit une incertitude absolue d'une demi-heure aux latitudes tempérées. Cela correspond à la durée de l'aube ou du crépuscule.

Extensions et limites

On peut reprendre le même raisonnement pour les régions tempérées de l'hémisphère sud, sauf que le jour de plus courte durée est vers le 1er septème, quand l'aiguille des saisons est vers le bas.

Les calendriers solaires en phase avec les équinoxes et les solstices, comme le calendrier indien moderne ou le calendrier persan, permettent ce genre d'estimation. Ce n'est pas le cas du calendrier grégorien, à cause de son déphasage avec les événements tropiques. Le calendrier milésien, qui est facile à convertir avec le calendrier grégorien, pallie cette carence.