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En 5 lignes, le quantième pascal D de l'année A, c'est-à-dire le nombre de jours après le 21 mars où tombe le dimanche de Pâques. A chaque ligne, les quantités à calculer sont en gras.
Pour chercher le reste de la division de l'année par 19, décomposer l'année en base 20 et ajouter les coefficients.
Pour multiplier une quantité par 19, la multiplier par 20 et enlever cette quantité au produit.
La date de Pâques du calendrier grégorien peut être calculée directement dans le calendrier milésien, car les dates possibles pour Pâques, du 22 mars au 25 avril, correspondent chacune à une et une seule date milésienne, du 1er quartème au 4 quintème.
Nous proposons ici une présentation nouvelle de ce calcul, plus didactique que tout ce que nous avons lu jusqu'ici, et une méthode exacte légèrement plus simple que la méthode dite de Butcher, référence aujourd'hui.
Sur le côté de cette page, ou plus bas pour la version mobile, vous trouverez le calcul express de la date de Pâques, en cinq lignes pour les calendriers grégorien et milésien, en quatre lignes pour le calendrier julien. La première ligne est la décomposition de l'année dont on cherche Pâques. Le résultat du calcul est ce que nous appelons le quantième pascal, c'est-à-dire le nombre de jours entre le 21 mars et le dimanche de Pâques. Les lignes intermédiaires comprennent des formules parfois complexes, mais que l'on peut chacune programmer en une seule ligne sur une calculatrice programmable ou dans un langage informatique. Ces formules sont donc directement utilisables.
Elles ont été mises en œuvre sur la page de calculs des chiffres clés annuels, ainsi que dans nos logiciels en accès libre accessibles via la boutique en ligne.
Les méthodes de calcul de la date de Pâques sont l'application de règles appelées comput ecclésiastique. Les formules milésiennes proposées en "calcul express" sont à ce jour les plus simples pour effectuer ce calcul à la main ou écrire un programme informatique.
La présente page vous explique ci-dessous le détail du calcul.
A l'attention des spécialistes du comput grégorien, précisons que nous proposons ici une méthode plus simple que la méthode dite de Butcher présentée notamment par Jean Meeus dans ses ouvrages de calculs astronomiques:
Nous avons vérifié que cette méthode milésienne donne toujours le même résultat que la méthode de Butcher.
Le comput, règle de calcul de la date de Pâques, peut être considérée comme une fonction à une variable entière, l'année, et dont la valeur est une date dans l'année, ou plus précisément un nombre entier de jours. Nous appelons quantième pascal cette valeur. C'est le nombre de jours à ajouter au 21 mars pour obtenir la date de Pâques. Le quantième pascal prend ses valeurs de 1 et 35, ce qui signifie que Pâques tombe 1 à 35 jours après le 21 mars, soit du 22 mars au 25 avril.
Sur le plan mathématique, l'année peut prendre n'importe quelle valeur entière positive, négative ou nulle. Sur le plan historique, le comput ecclésiastique n'a été établi pour la date de Pâques du calendrier julien qu'au cours du 6e siècle, vers 525. Ce comput julien est encore en usage dans de nombreuses églises orthodoxes restées au calendrier julien. Quant au comput grégorien, il n'est historiquement applicable qu'à partir de 1583, dans les pays utilisant le calendrier grégorien.
Le quantième pascal calculé avec le comput grégorien est très simple à utiliser en calendrier milésien. C'est directement le quantième dans le mois de quartème. Par exemple, le quantième pascal de 2015 est 15, Pâques est le 15 quartème (5 avril). Pour les valeurs du quantième pascal supérieures à 31, on enlève 31 pour obtenir le quantième dans le mois de quintème. Par exemple, en 2000 le quantième pascal est 33 = 31+2. Pâques a eu lieu le 2 quintème (23 avril).
Si l'on veut obtenir par calcul la date de Pâques dans le calendrier julien ou grégorien, on peut utiliser le petit algorithme suivant qui donne cette date à partir du quantième pascal D:
Dans la suite, nous décrivons comment calculer le quantième pascal à partir de l'année, selon les deux variantes du comput.
Rappelons la définition du concile de Nicée, en 325:
"Pâques est le dimanche qui suit le 14e jour de la Lune qui atteint cet âge le 21 mars ou immédiatement après."
Notons dès maintenant que cette définition fait intervenir trois cycles calendaires:
Compte tenu de cette définition, la détermination de la date de Pâques suit les étapes suivantes:
On peut dès maintenant faire quelques observations générales:
Nous proposons d'introduire trois variables intermédiaires permettant de comprendre chacune des étapes de calcul.
Précisons encore cette notation:
-1 div 3 = -1 et non pas 0;
-1 mod 3 = 2;
Nous nous intéressons d'abord à la seconde étape, le calcul de l'écart pascal, nombre de jours entre la pleine lune pascale et le samedi qui suit. Nous nous appuyons sur les méthodes de calculs de jours de semaine de la page semaines. Toutefois, nous utilisons des formules de calcul explicites plutôt que des étapes de calcul mental.
Notons dès maintenant que si nous connaissons L, le rang du jour de semaine d'une date, le nombre de jours séparant cette date du samedi suivant, jour de rang 6, est (6 - L) mod 7. Nous faisons couramment cette opération de tête sans nous en rendre compte.
Si donc, pour une année A donnée, nous connaissons P, le rang de son clavedi (donc rang du jour de semaine du 21 mars), et Rp, son reliquat pascal, nous connaissons le jour de semaine de la pleine lune pascale: (P+Rp) mod 7.
L'écart pascal Ep est donc donné par la formule:
Ep = (6 - P - Rp) mod 7.
Dans le cas des calendriers grégorien et milésien on peut donner pour P une formule simple pour les calculateurs numériques, en décomposant A en siècles et quadriennies:
A = S*100 + 4*B + N
P = 2 + S div 4 - 2*S - 2*B + N
Il vient alors : Ep = (4 - S div 4 + 2*S + 2*B - N - Rp) mod 7
Dans le cas du calendrier julien, nous n'avons même pas besoin de la balise de siècle:
A = 4*B + N, où B représente le nombre d'années bissextiles après l'an 1.
P = -2*B + N
Ep = (6 + 2*B - N - Rp) mod 7
Il ne nous reste plus qu'à calculer le reliquat pascal Rp, selon les méthodes respectivement applicables aux calendriers julien puis grégorien et milésien, et d'établir les algorithmes correspondants.
La seule définition du concile de Nicée ne permet pas d'obtenir une date de Pâques uniforme sur toute la terre. Certaines années où il est difficile de déterminer si la pleine lune de printemps a lieu un dimanche ou la veille de ce dimanche, la date de Pâques peut être incertaine d'une semaine. Pire, si la pleine lune a lieu à la limite entre le 20 et le 21 mars, l'ambiguïté peut porter sur 4 ou 5 semaines. C'est au 6e siècle après Jésus-Christ que l'Eglise a défini un algorithme donnant un résultat dépourvu d'incertitude. Le moine Denys Le Petit, celui-là même qui a choisi l'origine de notre ère en raison de bonnes propriétés astronomiques de l'an 0, a établi la méthode en s'appuyant sur le cycle de Méton, connu des anciens Grecs. Le cycle de Méton, ou plus précisément le cycle de Méton-Callippe, est un cycle de 19 années juliennes (de 365,25 jours), soit 6939,75 jours, au terme duquel la lune se retrouve pratiquement à la même phase, à quelques heures près. Le cycle de Méton original comptait 6940 jours, Callippe a proposé de retirer un jour tous les 76 ans soit tous les quatre cycles, ce qui revient à compter 6939,75 jours par cycle. Dans l'antiquité, et comme semble-t-il Thalès de Milet l'avait suggéré, l'année julienne de 365 jours un quart correspondait à l'année tropique, mais les calendriers des cités grecques étaient des calendriers luni-solaires, comme le calendrier hébraïque actuel. Le cycle de Méton permettait d'évaluer l'arrivée des saisons dans un calendrier luni-solaire. Aujourd'hui, c'est plutôt le contraire, nous évaluons les phases de la lune dans notre calendrier solaire.
Le problème posé à Denys le Petit n'était pas de déterminer tous les mois lunaires dans le calendrier, mais uniquement de trouver la date de la pleine lune de printemps chaque année d'une manière robuste pour que tous les évêchés trouvent le même résultat. Pour ce faire Denys le Petit a drastiquement simplifié le modèle de cycle lunaire. Selon ce modèle simplifié:
L'algorithme s'exprime en quatre étapes, pour l'année A du calendrier julien.
A = 4*B + N
Calculer H, reste de la division de A par 19. H prend ses valeurs entre 0 et 18. H+1 est le nombre d'or.
Calculer Rp, reliquat pascal, c'est-à-dire la date de la pleine lune pascale exprimée en nombre de jours après le 21 mars. Ce reliquat vaut 15 jours l'année origine du cycle de Méton, et augmente de 19 jours chaque année du cycle, pour une lune moyenne anamorphosée à 30 jours:
Calculer le quantième pascal Dp, en intégrant l'écart pascal Ep = (6 + 2*B - N - Rp) mod 7:
L'algorithme dit de Butcher fait partie des deux algorithmes de calcul de la date de Pâques rapportés par Jean Meeus, astronome belge contemporain, pour le calcul de la date de Pâques. Nous avons modifié cet algorithme, que nous pouvons appeler algorithme milésien de calcul de la date de Pâques, de la manière suivante:
A = S * 100 + B * 4 + N
H = A mod 19
Dp = 1+ Rp + (4 - S div 4 + 2*S + 2*B - N - Rp) mod 7
Les calculs du comput font souvent intervenir des divisions entières et des multiplications par 19, un multiplicateur dont on n'apprend pas les tables à l'école. De plus, les calculatrices à quatre opérations ne proposent jamais la division entière. Heureusement, 19 présente de bonnes propriétés, car c'est 20 - 1. Dès lors, on peut chercher le reste à partir de la décomposition du dividende en base 20, et multiplier par 19 revient à multiplier par (20 - 1), qui est beaucoup plus simple.
La base 20 est bien plus naturelle que l'on croit. Nous Français comptons en base 20 à partir de 60, et avons remplacé le terme octante (ou huitante) de nos amis suisses et belges par quatre-vingts. L'Hospice des Quinze-Vingts (c'est-à-dire des Trois Cents) rappelle encore cette vieille façon de compter de (certains de) nos ancêtres les Gaulois.
Pour manier des années en base 20, nous n'avons guère que deux multiplicateurs à retenir: 20 et 400. Le multiplicateur suivant, 8000, ne devrait pas être utilisé avant un certains temps. Déterminons donc le nombre d'or moins un d'une année A. Pour cela on décompose A en base 20:
A = Q*400 + V*20 + N
Le nombre d'or moins un H, reste de la division de A par 19, est tout simplement:
H = (Q + V + N) mod 19
Nous utilisions couramment cette propriété pour faire "la preuve par neuf", en ajoutant les chiffres de chacun des facteurs d'une multiplication pour en vérifier le résultat. Cette propriété est générale à tous les diviseurs inférieurs de un à une base.
Exemple pour 1879, année de naissance d'Albert Einstein:
Vous pouvez vérifier ce résultat sur le calculateur annuel en ligne.
Pour le calcul du reliquat pascal, il faut multiplier H par 19, il suffit de multiplier par 20 et de retirer H. Ainsi, avec l'exemple précédent:
H*19 = 17*(20 - 1) = 17*20 - 17 = 340 - 17 = 323.